# TD2: Calcul approché d'intégrales # Le calcul d'intégrales nécessite en général de trouver des primitives, ce qui est parfois très difficile. # Dans ce TD, on verra comment calculer des intégrales de manière approchée, sans supposer être capable de calculer la moindre primitive #%% Méthode des rectangles: # La façon la plus simple d'approcher une intégrale est de faire une somme de Riemann: # b b-a n-1 # On approche ∫f(x) dx par ─── ∑ f(xₖ) où xₖ=a+(b-a)k/n. # a n k=0 # On appelle ce procédé la "méthode des rectangles", car elle revient à approcher, sur chaque intervalle [xₖ,xₖ₊₁[, la fonction f par f(xₖ) et donc l'intégrale # xₖ₊₁ # ∫ f(x) dx par le rectangle de hauteur f(xₖ). # xₖ # def integrale_rectangles(f,a,b,n): "integrale_rectangles(f,a,b,n) calcule l'intégrale de f sur [a,b], par la méthode des rectangle, en divisant l'intervale en n sous-intervalles" R=0 for k in range(n): R=R+f(a+(b-a)*k/n)*(b-a)/n return R """ Questions: * Taper integrale_rectangles? dans la console pour obtenir de l'aide sur la fonction integrale_rectangles 1 1 * Utiliser cet algorithme pour avoir une estimation de ∫sin(x)/x dx, et de ∫√(1-x²) dx. -1 0 Remarque: pour accéder aux fonctions sin et sqrt (et au nombre π dont vous aurez besoin dans la suite), il vous faudra tout d'abord avoir exécuté from math import sin, sqrt, pi 1 * Dans le cas particulier de ∫√(1-x²) dx quelle est la valeur exacte de l'intégrale? 0 """ #%% Calcul de l'erreur # Pour l'intégrale # 1 # ∫√(1-x²) dx, # 0 #dont on connait la valeur exacte, on peut calculer l'erreur (c'est à dire la valeur absolue de la différence entre la valeure exacte de l'integrale et la valeur approchée obtenue par la méthode des rectangles), afin de la représenter graphiquement. # # """ Définir une fonction qui calcule l'erreur commise quand on estime cette intégrale par la méthode des rectangles pour une valeur arbitraire de n :""" def erreur_rectangles(n): ........... """ À vous de compléter les ..... avec les instructions pertinentes. """ #%% Représentation graphique de l'erreur # ci dessous, on calcule l'erreur pour n∈{10,20,30,...,350}, puis on les représente sur une échelle logarithmique (à la fois en abscisses et en ordonnées) valeurs_de_n=range(10,351,10) from matplotlib import pyplot pyplot.close() pyplot.plot(valeurs_de_n,[erreur_rectangles(n) for n in valeurs_de_n],"g.") pyplot.loglog() pyplot.show() """ Remarquer que l'erreur est proche de K×nᵅ, pour une certaine constante K et une certaine puissance α. Estimer la valeur de K et de α.""" #%% Méthode des trapèzes: # Une méthode un peu plus élaborée consiste à approcher par des trapèzes: # b b-a n-1 f(xₖ)+f(xₖ₊₁) # on approche ∫f(x) dx par ─── ∑ ──────────────── où xₖ=a+(b-a)k/n # a n k=0 2 """ Questions: 1. Faire un dessin et constater que cette méthode revient à approcher, sur chaque intervalle [xₖ,xₖ₊₁[, la fonction f par un segment de droite reliant les points de coordonnées respectives (xₖ,f(xₖ)) et (xₖ₊₁,f(xₖ₊₁)) 2. Définir une fonction integrale_trapezes, analogue à integrale_rectangles mais qui approche l'intégrale par la méthode des trapèzes 1 3. Pour l'intégrale ∫√(1-x²) dx, 0 représenter graphiquement, en fonction de n, l'erreur de calcul de l'intégrale par la méthode des trapèzes et par celle des rectangle. Laquelle est plus précise? Déterminer des constantes K et α telles que pour la méthode des trapèzes, l'erreur soit proche de K×nᵅ""" def integrale_trapezes(f,a,b,n): ........... #%% Méthode de Simpson # Désormais, sur chaque intervalle [xₖ,xₖ₊₁[, on approche la fonction f par un arc de parabole passant par les points de coordonnées (xₖ,f(xₖ)), ((xₖ+xₖ₊₁)/2,f((xₖ+xₖ₊₁)/2)) et (xₖ₊₁,f(xₖ₊₁)) """ Montrer qu'il existe une unique polynôme Pₖ de degré (inférieur ou égal à) 2 qui satisfait ⎧ Pₖ(xₖ)=f(xₖ) ⎨ Pₖ((xₖ+xₖ₊₁)/2)=f((xₖ+xₖ₊₁)/2) ⎩ Pₖ(xₖ₊₁)=f(xₖ₊₁) Calculer (en fonction de f(xₖ), de f((xₖ+xₖ₊₁)/2) et de f(xₖ₊₁)), l'intégrale de Pₖ sur [xₖ,xₖ₊₁[ n-1 xₖ₊₁ Définir en conséquence la fonction integrale_simpson qui calcule ∑ ∫P(x) dx k=0 xₖ """ def integrale_simpson(f,a,b,n): ..................... #%% Représentation graphique """ Comparer graphiquement la vitesse de convergence de la méthode de Simpson avec celle des deux méthodes précédentes. Estimer des constantes K et α telles que pour la méthode de Simpson, l'erreur soit proche de K×nᵅ """ #%% Représentation graphique pour sin x/x """ Comment pourrait-on procéder pour estimer l'erreur dans le calcul de 1 ∫sin(x)/x dx ? -1 Représenter graphiquement l'erreur de la méthode des trapèzes et de celle de Simpson. Estimer dans chacun de ces deux cas des constantes K et α telles que l'erreur soit proche de K×nᵅ. Qu'est-ce qui peut expliquer que la vitesse de convergence soit si différente de celle obtenue pour ∫√(1-x²) dx ? """